对角矩阵分块求逆矩阵的推导

假设我们有一个大的对角矩阵A,其中每个对角线块都是一个小的方阵,即:

A = [ A11 0 0 ... 0 ]

[ 0 A22 0 ... 0 ]

[ 0 0 A33 ... 0 ]

[ ... ... ... ... ... ]

[ 0 0 0 ... An ]

```

其中A11,A22,...,An均为方阵。

我们对此进行分块求逆矩阵,即:

```

[ X11 X12 ... X1n ]

[ X21 X22 ... X2n ]

[ ... ... ... ... ]

[ Xn1 Xn2 ... Xnn ]

```

假设我们要求的分块逆矩阵为X,则根据矩阵分块的性质,我们可以将矩阵X和A表示为分块子矩阵的形式,即:

```

X = [ X11 X12 ... X1n ]

[ X21 X22 ... X2n ]

[ ... ... ... ... ]

[ Xn1 Xn2 ... Xnn ]

A = [ A11 0 0 ... 0 ]

[ 0 A22 0 ... 0 ]

[ 0 0 A33 ... 0 ]

[ ... ... ... ... ... ]

[ 0 0 0 ... An ]

```

根据矩阵分块的逆矩阵公式,我们可以得到分块逆矩阵X的公式:

```

[ X11 X12 ... X1n ]

[ X21 X22 ... X2n ]

X = - [ ... ... ... ... ]

[ Xn1 Xn2 ... Xnn ]

[ A11^(-1) 0 0 ... 0 ]

[ 0 A22^(-1) 0 ... 0 ]

A^(-1) = [ 0 0A33^(-1) ... 0 ]

[ ... ... ... ... ... ]

[ 0 00 ... An^(-1) ]

```

我们需要对每个小方阵进行求逆操作。因为对角矩阵的分块逆矩阵还是对角矩阵,因此X中非对角块的值都为0。所以,我们只需分别对每个小的对角方阵求逆即可,即:

```

Xij = Aij^(-1) (i = j)

0(i ≠ j)

```

所以,我们可以用这个公式求解对角分块矩阵A的逆矩阵X。如果某个小方阵不可逆,则大的对角矩阵是不可逆的,因此在实际应用中,需要首先查每个小方阵是否可逆。

步骤如下:

1. 将原矩阵分成四个子矩阵,其中A和D是对角矩阵,

B和C是零矩阵;

2. 利用矩阵分块技巧,推导出逆矩阵的表达式;

3. 使用矩阵分块的性质以及逆矩阵的性质,将逆矩阵表达

式进一步化简;

4. 求出每个子矩阵的逆矩阵,利用对角矩阵的性质,

对角矩阵的逆矩阵就是将对角线上的元素求倒数;

5. 将每个子矩阵的逆矩阵代入逆矩阵表达式中,

得出最终的逆矩阵。

以上

A 00 B乘A^(-1) 00 B^(-1)等于AA^(-1)+00 A0+0B^(-1)0A^(-1)+0B 00+BB^(-1)等于E 00 E即单位矩阵.故上一个分块矩阵的逆等于下一个分块矩阵.