双曲线的第一定义是由阿基米德提出的，它描述了双曲线的几何特性。

双曲线的第一定义公式及推论如下：

1.**双曲线的定义**：双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差等于常数（大于零）的点的***。

2.**双曲线的标准方程**：当双曲线的焦点在x轴上时，其标准方程为：\\[\\frac{x^2}{a^2}-\\frac{y^2}{b^2}=1\\]其中，\\(a\\)是实半轴的长度，\\(b\\)是虚半轴的长度。

3.**双曲线的性质**：-焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是\\(2c\\)，其中\\(c\\)是焦距，满足\\(c^2=a^2+b^2\\)。-准线：双曲线的准线是\\(x=\\pm\\frac{a^2}{c}\\)。-离心率：双曲线的离心率\\(e\\)满足\\(e=\\frac{c}{a}\\)。

4.**推论**：-如果\\(e<1\\)，则双曲线是椭圆。-如果\\(e=1\\)，则双曲线是抛物线。-如果\\(e>1\\)，则双曲线是双曲线。这些公式和推论可以帮助我们理解和计算双曲线的各种几何特性，包括焦点、准线、离心率和与椭圆、抛物线的关系。