矩阵的2次方计算A^2,A^3找规律，然后用归纳法证明；若r（A）=1，则A=αβ^T，A^n=（β^Tα）^（n-1）A；分拆法，A=B+C，BC=CB，用二项式公式展开，适用于B^n易计算，C的低次幂为零：C^2或C^3=0。

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。