如何用微积分知识推导球的体积公式？球的体积公式推导过程

为了让数学界的同行对球体公式的推导方法和过程能够进一步了解，免得往后对我(魏德武）产生质疑，现将二种球体推导的方法和过程都一一展示出来：一，第一种从“下而上”不足近似值逼近（比实际值小）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：（1）r1=根号R^2-(R/n)^2,r2=根号R^2-(2R/n)^2,r3=根号R^2-(3R/n)^2-----rn=根号R^2-(nR/n)^2.(2)然后再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R/n)^2}+πR/n{R^2-(2R/n)^2}+πR/n{R^2-(3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(nR/n)^2}=πR^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πR^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πR^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πR^3{1-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3{1-(2+3*1/n+1/n^2)/6}=πR^3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3后再乘以2。

即：整球的体积公式V=4/3πR^3。

二，第二种从“上而下”过剩近似值逼近（比实际值大）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：(一），（1）r1=根号R^2-(R-R/n)^2,（2）r2=根号R^2-(R-2R/n)^2,(3)r3=根号R^2-(R-3R/n)^2---++---（n）rn=根号R^2-(R-nR/n)^2，（二）再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R-R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-2R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(R-nR/n)^2}=πR^3/n{2/n-(1/n)^2}+πR^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πR^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πR^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πR^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2}=πR^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)/6n^2}=πR^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πR^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πR^3{（4+3/n-(1/n)^2)}/6=πR^3（4-1/n)(1+1/n)/6.（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3，最后再乘以2，得：整球的体积公式V=4/3πR^3。

综上所述：事实证明二种推导结果完全一致，只是前者较为简单，后者更为复杂而已，建议学生还是采用前者更便捷！