新晃一中操场埋尸案的发现经过如下：

调查启动：2019年4月，因涉嫌其他犯罪行为，杜少平等7人被抓获。在审讯侦查过程中，警方发现杜少平与2003年新晃一中教师邓世平失踪案有关联，于是开始对当年参与施工的人员展开调查。

供述和协助：在调查过程中，有两人承认邓世平已被杜少平***害，并指出尸体被埋藏在新晃一中操场上。

挖掘尸体：2019年6月20日凌晨，警方在新晃一中操场上挖掘出一具遗体。

DNA鉴定确认：经过怀化市公安局刑事科学技术研究所进行DNA检验鉴定，确认该遗体为2003年失踪人员邓世平。

审判和判决：2019年12月18日，湖南省怀化市中级人民法院对新晃一中操场埋尸案进行一审宣判，杜少平被判***，罗光忠被判***缓期执行，其他涉案人员分别被判处***。

综上所述，新晃一中操场埋尸案是通过调查和供述，警方在操场上挖掘出邓世平的尸体，并经过DNA鉴定确认身份的。该案件经过多年的调查和审判，最终得到了合理的判决。