三点共线性质及证明方法

纯几何

①原始定义：证明ABC（依次排列，B在AC之间）三点共线，只证∠ABC=180°或者AC=AB+BC。

这个很好理解。

衍生出方法

1。外面还有D点，而且DB⊥AB且DB⊥CB则ABC三点共线。

2。对顶角相等的逆定理

②线段比值法：著名的梅涅劳斯定理（逆定理）

③用已知定理。数学里面有很多定理是用来证明三点共线的，比如欧拉线定理、西姆松定理、帕斯卡定理……只要看题目里面的情境是不是符合这些定理成立的条件。

平面向量

证明向量AB和向量BC平行（即AB向量=αBC向量，α是非零实数），当然也可以证明向量AC和BC，AB和AC共线……

衍生方法：

①证明AB、BC共用同一个法向量n即n·AB=n·AC=0

②证明AB·BC（点乘）=|AB|·|AC|或-|AB||AC|。

③相对来说稍微高深一点的：另外找一点D，如果向量DB可以写成 a向量DA+(1-a)向量DC这种形式，则ABC三点共线。就用上述AB向量=αBC向量这个条件，把AB换成DB-DA，BC换成DC-DB带进去就得到。

三点共线的证明方法

方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 。代入第三点坐标 看是否满足该解析式 (直线与方程)。

方法二：设三点为A、B、C 。利用向量证明：λAB=AC(其中λ为非零实数)。

方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。

方法四:用梅涅劳斯定理。

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”。可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线 [3] 。

方法六：运用公(定)理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(垂直)”。其实就是同一法。

方法七：证明其夹角为180°。

方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0。

方法九：帕普斯定理。

方法十：利用坐标证明。即证明x1y2=x2y1。

方法十一：位似图形性质。

方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC三点共线。

方法十三：张角定理。