微分方程的通解公式

y=y1+y*=1/2+ae^(-x)+be^(-2x)，其中：a、b由初始条件确定，

例

y''+3y'+2y=1，其对应的齐次方程的特征方程为s^2+3s+2=0，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1s2=-2。

补充

常微分方程

常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

一阶微分方程

如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解

若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解

二阶微分方程

y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2. 　　

1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　

2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

二阶微分方程的通解

求2y''+y'-y=0通解，特征方程2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1，通解Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)，1不是特征根，设原方程特解y*=Ae^x，则y*'=y*''=Ae^x，代入2Ae^x=2e^x，A=1，故y*=e^x，通解为y=Y+y*。

举例说明

求微分方程2y''+y'-y=0的通解

先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解

特征方程为2r²+r-1=0

(2r-1)(r+1)=0

r=1/2或r=-1

故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x

则y*'=y*''=Ae^x

代入原方程得，2Ae^x=2e^x

A=1

故y*=e^x

所以原方程的通解为y=Y+y*

即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x