我特意查了一下字典，它是这么解释的：支，量词。

1、用于队伍、歌曲或杆形的东西等：一支军队。一支曲子。一支笔。2.各种纤维纺成的纱粗细程度的计算单位。枝，量词。1、用于带枝子的花朵：一枝杏花。

2、用于杆状物：一枝铅笔。这么说来，在你说问的语境里面似乎可以通用。但是个人认为，树枝嘛，从木，用“枝”好。支也可以用，但是支一般指比较小的杆状物，而枝应该指比较大的杆状物。树枝嘛，不算小了。用枝好，比较贴合你的语境。