高数求极限的方法小结本文简介：宁波大红鹰学院学生数学课程论文高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子

高数求极限的方法小结本文内容：

宁波大红鹰学院学生数学课程论文

高等数学中求极限的方法小结

2.求极限的常用方法

2.1

利用等价无穷小求极限

#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]

设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．

常用等价无穷小：当变量时，

．

例1

求．

解

，

故，原式

例2

求．

解,因此:

原式．

例3

求

．

解

，故:原式=．

例4

求．

解,故:

原式．

例5

试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．

解

而左边，

故

即

．

2.2

利用洛必达法则求极限

#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.

洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.

洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么

.

[1]

求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.

[3]

例6

求.

分析

秘诀强行代入，先定型后定法.

（此为强行代入以定型）.

可能是比高阶的无穷小，倘若不这样，或

或.

解

，

由洛必达法则的.

例7

求.

解

.

例8

求.

解

原式.（二次使用洛必达法则）.

例9

求.

解

原式.

例10

求.

解

原式原式=.

例11

求.

解

原式.

例12

求.

解

原式.

例13

求.

解

原式

“”型：

例14

求.

解

原式.

“”型：

例15

求

.

解

，

故原式.

“”型：

例16

求.

解

原式.

“”型：

例17

求.

解

原式.

“”型：

例18

求.

解

原式，

而，因此：原式=1.

2.3

泰勒公式

（含有的次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）

泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到

阶的导数，则对任一，有

+(-)+(-)+……+(-)+()

其中，这里是与之间的某个值.

[1]

例19

利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.

解

由于公式的分母，我们只需将分子中的

代入计算，

于是

，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.

例20

，

，

.

2.4

无穷小与有界函数的处理方法

面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]

例21

求

.

解

原式.

2.5

夹逼定理

主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]

例22

求.

解

，

，

，

根据夹逼定理

.

2.6

等比等差数列公式（的绝对值要小于）

[1]

例23

设，证等比数列1，，，…的极限为0.

证

任取，为使，而，使，即，

当，当时，即，

即，

由定义知

.

因此,很显然有:

.

2.7

各项以拆分相加[3]

将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.

例24

求.

解

原式

=.

2.8

求左右极限的方式

例25

求函数，求时，的极限.

解

，，

因为，所以，当时，的极限不存在.

例26

.

解

，，

因为，所以,原式=0.

2.9

应用两个重要极限

，

例27

求.

解

记

，则

原式=

.

例28

求.

解

原式==.

例29

求.

解

原式==.

2.10

根据增长速度

例30

求.

解

原式==.

例31

求.

解

.

同函数趋近于无穷的速度是不一样的，的次方快于（的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.

所以增长速度：

.

故以后上述结论可直接在极限计算中运用.

2.11

换元法

例32

.

解

令，

则原式==

2.12

利用极限的运算法则[1]

利用如下的极限运算法则来求极限：

(1)

如果

那么

若又有，则

（2）如果存在，而为常数，则

（3）如果存在，而为正整数，则

（4）如果，而，则

（5）设有数列和，如果

那么，

当且时，

2.13

求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

例33

已知,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.

解

由已知得:

.

（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.

在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：

（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立：

；

（2）设函数在区间上连续，取，如果极限

存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；

设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分：

的步骤是：

首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；

其次，计算的近似值

；

然后，求和，得的近似值

；

最后，求极限，得.

例34

设函数连续，且，求极限

.

解

=

，

.

例35

计算反常积分:

.

解

===.

2.14

利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限

（1）单调有界数列必有极限；

（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]

例36

数列:，，，……．极限存在吗？

解

由已知可得单调递增且有界，由单调有界原理，知

存在．

又，

记，

即可证，得到

.

2.15

直接使用求导的定义求极限

当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：

（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即

；

（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.

例36

，求.

解

.

例37

若函数有连续二阶导数且，，，

则

.

A:不存在

B：0

C：-1

D：-2

解

.

所以，答案为D.

例38

若，求.

解

.

2.16

利用连续性求极限[1]

例39

设在处有连续的一阶导数，且，求.

解

原式

.

2.17

数列极限转为函数极限求解

数列极限中是趋近，而不是趋近.面对数列极限时，先要转化成求趋近情况下的极限，当然趋近是趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的当然是趋于正无穷的）.[1]

例40

求.

解

令,则原式，

所以在时，与等价，因此，原式.

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