1、存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价，充要条件就是R(A)=R(B) 证明: a1,a2,an,线性无关，而a1,a2,an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+.xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+.xnan+xb=0,说明a1,a2,an,线性相关，同理x=0,可得a1,a2,an,r线性相关。

2、若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+.+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,an,r.表示。

3、若除以y可证明r可以用a1,a2,an,b表示。

4、这就说明a1,a2,an,b与a1,a2,an,r等价.综合可得命题的证。