代数上来说，维度其实是数学里在表示方面的一个重要的概念，它反映的是一个空间的本质性质。

举个简单的例子吧。

小学的时候我们就学过了方向的概念。

比如图里的邮局，他就在学校的东北方向，1000m远处；图里的书店，他就在学校的西偏北30°方向，800m远处。

其实不止是图中这几个有名有姓的地点，实际上，对任意一个地点，只要知道了它在学校的什么方向，距离多远——只要知道了这两个数据我们就能确定它的位置。雷达其实就是这样工作的。

初中的时候我们就学了直角坐标系。

建好了系之后，平面上任意一个点，都可以通过横坐标和纵坐标这两个数据来确定它的位置。

不止是平面，在一些简单曲面上，比如最常见的，地球的球面上，我们要确定某个地点的位置，也只需要经度和纬度这两个数据。

也就是说，对于面而言，不论是平面还是（简单）曲面，2这个数字都是有特殊意义的。一个面的所有信息都可以通过两个量来给出。

于是我们称这些面都是2维的。

3维其实是一样的。

比如方向的这个图里

如果小明在书店三楼，我们要确定小明的位置。除了需要确定书店位置的两个量之外，还需要“三楼”这个表征高度的量。也就是说需要3个量。

又比如我们确定人在地球的位置的时候，除了纬度和经度，还需要一个海拔。

不然登上珠峰和在珠峰山脚下挖个洞钻进去都没区别了。???/p>

总的来说，为了体现这种特殊的表示形式我们在代数上定义了许多概念。

把一个线性空间的基的个数称为这个线性空间的维数数学上，维数可以是有限的，比如n维欧式空间；当然也可以是无限的，比如L2空间。

后续一系列的东西，各种教材里都有。

和物理上不同，数学上对维数的定义可以是没有什么实际体现的。

比如我们要确定地球上某个点的状态，需要测定空间位置、时间、温度、电场强度、磁场强度、光照强度那么（空间，时间，温度，电，磁，光）就可以看成一个8维向量，这里认为空间是三维的。

但物理上不会认为我们就生活在一个8维空间里，因为后面5个东西其实除了时间之外，目前的物理学（wozhidaode~*），认为对空间都没什么影响。所以我们只说自己生活在3维空间。

如果打算照顾下爱因斯坦他老人家的感受，可以在他面前说我们是4维时空。
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再比如我们要建大楼，对某个承重点做受力分析，可能有上千个因素对它有影响。建立方程的时候，可能会有成千上万的变量。这时候这个方程，那维数可是相当的高。

这种情况下，我们把维数大约看成变量的个数，因为这个时候函数的图像是那么高的维数了。

所以数学上你会经常看见“降维”这种操作，不要惊讶，这只是指的是通过某些方式减少变量的个数，并不是给了你一本二向箔那么高大上的宇宙规律级别武器的使用说明书。

总的来说，数学上的维数，是我们认识空间，并表示它的一种手段。
因为数学自己的抽象性，这种概念已经在一个现实和物理完全够不着的地方为所欲为了。比如我们可以给建大楼的人弄个成千上万维的方程，但是不可能让他给我们整一栋成千上万维的楼啊。

至于特征值，这也是简化高维问题的一个手段。

比如矩阵的对角化过程，就可以看成，把矩阵看成两个互逆的基向量的旋转中间穿插一个伸缩的过程。其中特征值表征伸缩过程，特征向量表征这个旋转。

因为在复数域伸缩是乘一个复数，而复数本身就有旋转的意味，所以矩阵对角化问题在复数域上会有更好的结果。

题主慢慢学，会感受到谱理论的强大的。

拓展。

关于维数，其实对分形有点概念的，会知道数学上还有非整数的维度。

但这个概念其实更接近测度结构了，而且也不像很多人想象的可以随便弄出1.5维之类的玩意儿。这些其实更多会是一些麻烦的无理数。

但万变不离其宗的是，这仍然是个表示上的概念，只是定义的出发点和发展方向，与整数维比起来跑的很远了。

以豪斯多夫维（ce）数（du）为例，

比如雪花曲线，长度无限而围出面积有限的曲线。

说它是一维的吧，长度无限，一维的量不够描述它。说它是二维的吧，他也太不够格了。

这时候搅混水的来了，一维不够二维有多，我们在1和2中间找个数定义过去不就行了么。
于是豪小夫同学就随便找了个数定义了过去，成就一段历史佳话。

好吧上面都是我瞎说的，其实豪哥还是有严谨的定义的。随便定义的数可不会有很好的运算法则，没有好的运算也就没有好的结构，是不会被认可的。

这里不扣严谨定义了，下确界啊覆盖什么的，总之雪花曲线的维数算出来是以3为底4的对数

这恰好表示了，雪花曲线的迭代过程里，每次的每条边从3小段到4小段这个过程。

在数学中是什么意思