浙江专用2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书本文简介：（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F

浙江专用2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书本文内容：

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习

第九章

平面解析几何

9.6

双曲线教师用书

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

－＝1(a>0，b>0)

－＝1

(a>0，b>0)

图形

性

质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±x

y＝±x

离心率

e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c的关系

c2＝a2＋b2

(c>a>0，c>b>0)

【知识拓展】

巧设双曲线方程

(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(

×

)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(

√

)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(

√

)

(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(

√

)

1．(教材改编)若双曲线－＝1

(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(

)

A.

B．5

C.

D．2

答案

A

解析

由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.

∴e2＝＝5，∴e＝.

2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(

)

A.

B．2

C．4

D．8

答案

C

解析

设C：－＝1.

∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，

∴|AB|＝2＝4，

∴a＝2，∴2a＝4.

∴C的实轴长为4.

3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(

)

A．x2－＝1

B.－y2＝1

C.－x2＝1

D．y2－＝1

答案

C

解析

由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.

4．(2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

答案

(2，8)

解析

由已知a＝1，b＝，c＝2，则e＝＝2，

设P(x，y)是双曲线上任一点，

由对称性不妨设P在右支上，

则142，解得x>，

所以0)．

由题意知，2b＝12，e＝＝.

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．

∴解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

命题点3

利用定义解决焦点三角形问题

例3

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos

∠F1PF2＝________.

答案

解析

∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|

＝|PF2|＝2a＝2，

∴|PF1|＝2|PF2|＝4，

则cos∠F1PF2＝

＝＝.

引申探究

1．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

解

不妨设点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝

＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，

所以＝|PF1|·|PF2|sin

60°＝2.

2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

解

不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

由于·＝0，所以⊥，

所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2＝16，

所以|PF1|·|PF2|＝4，

所以＝|PF1|·|PF2|＝2.

思维升华

(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(

)

A.＋4

B.－4

C.－2

D.＋2

(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(

)

A.

B.

C.

D．3

答案

(1)C

(2)B

解析

(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，

要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，

当A，P，F1三点共线时，取得最小值，

则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，

∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.

故选C.

(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，

又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.

又r1·r2＝ab，所以·＝ab，

解得＝(负值舍去)，

故e＝＝＝＝，

故选B.

题型二

双曲线的几何性质

例4

(1)(2016·浙江)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(

)

A．m＞n且e1e2＞1

B．m＞n且e1e2＜1

C．m＜n且e1e2＞1

D．m＜n且e1e2＜1

(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

答案

(1)A

(2)

解析

(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，

又∵m＞0，n＞0，故m＞n.

又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.

(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.

由得x2＝2p

·x，

∴x＝，y＝，∴A.

设抛物线C2的焦点为F，则F，

∴kAF＝.

∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，

∴·＝－1，∴＝.

设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.

∴e＝.

思维升华

双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.

(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(

)

A.

B.

C.

D．2

答案

A

解析

离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.

题型三

直线与双曲线的综合问题

例5

(2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

解

(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，

则a2＝4－1＝3，c2＝4，

再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.

故C2的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k22，得x1x2＋y1y2>2，

∴>2，即>0，

解得0)．

∵直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，

∴直线l的方程为x＝c或x＝－c.

将其代入－＝1，

求得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，

∴|AB|＝.依题意，得＝4a，

∴＝2，即e2－1＝2，∴e＝.

11．直线与圆锥曲线的交点

典例

已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

错解展示

现场纠错

解

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，

若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．

设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，

即y＝kx＋1－k.

由

得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①

∴x0＝＝.

由题意，得＝1，解得k＝2.

当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0.

Δ＝16－24＝－80，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(

)

A.－＝1

B.－＝1

C.－＝1

D.－＝1

答案

A

解析

依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.

2．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(

)

A．(－1,3)

B．(－1，)

C．(0,3)

D．(0，)

答案

A

解析

∵方程－＝1表示双曲线，

∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(

)

A.－1

B.

C.

D.＋1

答案

D

解析

∵＝－，

∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，

即2－2＝0，∴||＝||＝c，

在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥.

∵||＝||，

∴可设||＝λ(λ>0)，||＝λ，

得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，

∴||＝c，||＝c，

∴根据双曲线定义得2a＝||－||＝(－1)c，

∴双曲线的离心率e＝＝＋1.

5．(2016·绍兴质量检测二)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点．若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(

)

A.

B．1

C．2

D．4

答案

C

解析

由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.

设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，

∴AB的中点为(，)，

∴()2－()2＝2?x1x2＝2，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2.

6．(2016·安徽庐江第二中学月考)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(

)

A.

B．1

C.

D．2

答案

B

解析

由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.

由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.

∴e1e2＝×＝1.

7．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(

)

A．(1，＋∞)

B．(1,2)

C．(1,1＋)

D．(2,1＋)

答案

B

解析

由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，

∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，

即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，

整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．

答案

x±y＝0

解析

如图所示，过点P作PC⊥x轴，

因为|AB|＝|BP|＝2a，

所以∠PBC＝60°，BC＝a，

yP＝|PC|＝a，点P(2a，a)，

将P(2a，a)代入－＝1，得a＝b，

所以其渐近线方程为x±y＝0.

11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．

答案

解析

由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.

又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.

在△PF1F2中，由余弦定理，

得cos∠F1PF2＝＝－e2.

要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，

∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，

即e的最大值为.

12．(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．

答案

12

解析

设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，

∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S△APF＝－＝12.

13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

解

(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，

双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，

则

解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.

∴椭圆方程为＋＝1，

双曲线方程为－＝1.

(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，

则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，

∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，

∴cos∠F1PF2＝

＝＝.