如何用确界定理证明有限覆盖定理？

有上界必有上确界，有下界必有下确界；如果H是闭区间【a,b】的一个开覆盖，则H中可以选出有限个开区间来覆盖【a,b】。

由于【a,b】是闭区间，因此是有界区间，所以由确界原理，【a,b】有上下确界。

既然H是【a,b】的一个开覆盖，那么起码可挑选出两个小开区间h1和h2，使得a属于h1,b属于h2，由于【a,b】区间长度有限，设为l，而所有开区间也必然长度有限，不妨设最小的一个开区间长度为d，于是在h1和h2之间，可以挑选出【l/d】+1个开区间，使得【a,b】内任意一个点都可以在这些小开区间内找到，这就说明了有限覆盖原理。

(简单点理解就是，既然有界，必然长度有限，而即便一个开覆盖中所有的小开区间长度再小，也终究还是有长度的，因此在数量足够多情况下，必然可以完全覆盖住那个闭区间)